Débit d’un écoulement en fonction du diamètre et de la hauteur

À ChatGPT j’ai demandé : donne-moi la formule du débit d’un écoulement liquide par un orifice de diamètre D et une hauteur de la colonne de liquide H.

Il m’a répondu :

Pour calculer le débit d’un écoulement de liquide à travers un orifice, nous pouvons utiliser la formule dérivée du théorème de Torricelli. Le débit Q (en m³/s) d’un fluide passant par un orifice peut être exprimé comme suit :

$Q=C$_d⋅A⋅√2gH

où :

– C_d est le coefficient de décharge (sans unité), qui prend en compte les pertes d’énergie et les caractéristiques de l’orifice. Typiquement, C_d est souvent compris entre 0,6 et 0,9.
– A est l’aire de l’orifice (en m²), que l’on peut calculer à partir du diamètre D de l’orifice :

$\frac{\frac{\mathrm{\pi D²}}{4}}{}$

– g est l’accélération due à la gravité (en m/s²), approximativement égale à 9,81 m/s².
– H est la hauteur de la colonne de liquide au-dessus de l’orifice (en m).

Regroupant ces éléments, la formule du débit devient :

$\frac{\frac{\mathrm{\pi D²}}{4}}{}$_d⋅√2gH.
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Exemple de calcul

Supposons un orifice de diamètre D=0,05 m (5 cm) et une hauteur de colonne de liquide H=2 m avec un coefficient de décharge C_d=0,8.

1. Calculer l’aire de l’orifice :

$\frac{\frac{\mathrm{\pi D²}}{4}}{\frac{\mathrm{\pi (0,05)²}}{4}}$

1. Calculer la vitesse d’écoulement théorique :

√2gH=√2⋅9,81⋅2≈√39,24≈6,26 m/s

1. Calculer le débit :

Q=0,8⋅0,001963⋅6,26≈0,0098 m³/s

Donc, le débit d’écoulement serait environ 0,0098 m³/s ou 9,8 L/s.

Cette formule et ce calcul vous permettent de déterminer le débit d’un liquide passant par un orifice donné en fonction de sa hauteur et de son diamètre.

Et avec le rayon et la pression ?

Et quelle serait la formule du débit d’un écoulement liquide par un orifice de rayon R sous une pression P ?

Pour calculer le débit d’un écoulement liquide à travers un orifice sous une pression P, nous pouvons utiliser la formule basée sur l’équation de Bernoulli et le théorème de Torricelli. La pression appliquée génère une vitesse d’écoulement que l’on peut utiliser pour déterminer le débit.

Le débit volumétrique Q (en m³/s) peut être exprimé comme suit :

$\frac{\frac{\mathrm{2P}}{\rho }}{}$_d⋅A

où :

– C_d​ est le coefficient de décharge (sans unité).
– A est l’aire de l’orifice (en m²), calculée à partir du rayon R de l’orifice : A=πR².
– P est la pression (en Pa ou N/m²).
– ρ est la densité du liquide (en kg/m³).

L’équation de Bernoulli appliquée à une ouverture sous une pression donne la vitesse d’écoulement v :

$\frac{\frac{\mathrm{2P}}{\rho }}{}$

Ensuite, le débit volumétrique est le produit de la vitesse par l’aire de l’orifice et le coefficient de décharge :

$Q=v\cdot C$_d​⋅A = v⋅C_d⋅πR²

Supposons un orifice de rayon R=0,025 m (2,5 cm), une pression P=50000 Pa (50 kPa), un coefficient de décharge C_d=0,8, et une densité de liquide ρ=1000 kg/m³ (typique pour l’eau).

1. Calculer l’aire de l’orifice :

A=πR²=π(0,025)²≈0,001963m²

1. Calculer la vitesse d’écoulement théorique :

$\frac{\frac{\mathrm{2P}}{\rho }}{\frac{\mathrm{2\cdot 50000}}{\mathrm{1000}}}$

1. Calculer le débit :
   Q=0,8⋅π⋅(0,025)²⋅10≈0,8⋅0,001963⋅10≈0,0157 m³/s

Donc, le débit d’écoulement serait environ 0,0157 m³/s ou 15,7 L/s.

Cette formule et cet exemple de calcul vous permettent de déterminer le débit d’un liquide passant par un orifice donné en fonction de la pression appliquée et du rayon de l’orifice.